Det Faglige Program på Matematik Camp 2024
Kom og smag på universitetsmatematik! På universitet er matematikken lidt anderledes end det, du kender. I stedet for at regne og regne, arbejdes der her mere generelt, abstrakt og med mange flere slags matematiske objekter end kun tal.
Med dette simple trick bliver geometri nemt… Er du også træt af, at dine retvinklede trekanter aldrig er retvinklede? Gør størrelsesforhold også dig utilpas? Er dit hoved også ved at eksplodere, hver gang du tænker over cosinusrelationen?
Så kom med til incidenssgeometri, hvor vi glemmer alt det ækle stads, eller lærer at være ligeglade! Det eneste, vi forholder os til her, er punkter, linjer, og om punkterne ligger på linjerne. Simplere bliver det ikke.
Hvad er incidensgeometri så egentlig? I incidensgeometri studerer man visse incidensstrukturer, som er en samling af punkter og linjer, pålagt en relation, som fortæller os, hvilke punkter, der inciderer med (ligger på) hvilke linjer. Et meget oplagt eksempel er vores velkendte euklidiske plan, altså bare det plan, vi er vant til at arbejde med i geometri. Hvis bare vi ser bort fra al den overflødige information såsom vinkler, længder/afstande, topologi, og en masse andet stads, og kun interesserer os for incidens, så kan det euklidiske plan betragtes som et klassisk affint plan - en bestemt slags incidensstruktur, som både findes i uendelige og endelige varianter. En anden slags incidensstruktur er de projektive planer, som tager affine planer, og stiller spørgsmålet “hvad hvis linjer ikke kan være parallelle?"
… Eller gør det? “Er der så overhovedet noget spændende at vise, når kun vi interesserer os for incidens?”, spørger du. Svaret er enkelt… JA! Selvom incidensstrukturer er meget simple at konstruere, er der stadig masser af spændende matematik at dykke ned i, så glæd jer til at lære at glemme vinkler og elske geometri!
Generelt er talteori, som navnet indikerer, teorien om tal - i særlig grad, de hele tal. Hvilke seje egenskaber har de forskellige tal? Hvad kan vi sige om disse egenskaber? Og hvor mange tal har de samme egenskaber? Dette er nogle af de spørgsmål der ligger til grund for talteori og har fascineret matematikere i mange tusind år.
Du kender nok allerede nogle specielle typer af tal; lige tal, primtal eller måske kvadrattal. Der er mange forskellige typer af tal og de har allesammen en egenskab, der gør dem interessante.
Denne gren af matematikken har optaget flere af tidens største matematikere. Du har måske hørt om Euklid, Fermat og Euler, og der er mange flere.
"Matematik er dronningen af videnskab, og talteori er dronningen af matematik."
– Carl Friedrich Gauss
Ringteori er studiet af ringe. Ringe er mængder med struktur, og faktisk kender I allerede mange eksempler, f.eks. heltallene og de reelle tal. Man kan tænke på en ring som en samling ting, hvor det er tilladt at lægge tingene sammen, trække dem fra hinanden og gange dem sammen (men hvor man ikke nødvendigvis kan dividere!).
I forløbet skal vi undersøge forskellige aspekter af ringe og klassificere dem efter deres egenskaber. Vi skal regne på mange eksempler og se, hvordan vidt forskellige matematiske objekter såsom mængder, tal og polynomier kan studeres i én ramme. Forløbet har derfor stærk synergi med talteori.
I 1915 beviste Emmy Noether den muligvis vigtigste matematiske sætning, som siden da har været fundamentet for næsten alt moderne teoretisk fysik. I dette forløb vil vi gå i hendes fodspor og forstå relationerne mellem symmetrier og bevarelseslove. Det virker ufatteligt, men med ren matematik kan man bl.a. forudsige teorien om elektromagnetisme, eller hvor mange fundamentale partikler der bør eksistere. Energibevarelse er heller ikke et tilfælde. Vi vil oversætte vores fysiske intuition til et matematisk sprog, hvor Noethers Sætning naturligt fremkommer som et resultat af, hvordan universet fungerer.
Denne side er sidst opdateret d. 9. marts 2024 af MWK
