Det Faglige Program på Matematik Camp 2025
Kom og smag på universitetsmatematik! På universitet er matematikken lidt anderledes end det, du kender. I stedet for at regne og regne, arbejdes der her mere generelt, abstrakt og med mange flere slags matematiske objekter end kun tal.
Hvad ville der ske, hvis vi ændrede matematikkens regneregler? Hvad sker der, hvis vi laver plus om til “minimum” og gange om til plus? Hvordan vil et polynomium så opføre sig? Hvordan ville dens graf se ud? Kan vi bruge det til noget i virkelighedens verden? Disse spørgsmål undersøger vi i Tropisk Geometri, når vi leger med en anden måde at bruge matematikken på.
I emnet Metriske Rum kigger vi på hvordan man ud fra en simpel definition, kan måle afstande i alverdens matematiske objekter. Det kan være konkret i form af afstande på et papir eller på en rund jordklode, men det kan også være afstande i mere abstrakte matematiske objekter – såsom funktionsrum – hvor vi kun har en matematisk formel for afstande, og hvor der ikke længere er en intuitiv relation til virkeligheden. “Hvad kan man så bruge det til?”, spørger du nok, det ved vi heller ikke… Men, ud fra vores simple definitioner, ser vi hvordan vi kan generalisere en masse matematiske begreber som du måske kender fra gymnasiet, såsom kontinuitet, grænseværdier og konvergens. Sådanne koncepter formaliseres ved hjælp af de infamøse epsilon-delta beviser.
Spektralteori handler om, hvordan vi kan relatere nogle af lineær algebras hovedkoncepter til såkaldte egenvektorer. Spektral kommer af spektrum, som betyder mængden af alle egenværdier. For at vi i dag kan have spektralteori har nogle af de mest berømte matematikere skulle bygge de fundamentale koncepter i lineær algebra. Vi vil i dette valgfag gå i deres fodspor og forstå de elementer, der indgår i spektralteoriens hovedsætning, et ad gangen til vi når til spektralteoriens stærke hovedsætning. Spektralteori viser sig at dukke op alle mulige steder i matematikken og i matematisk fysik. Vi vil se, hvordan den formår at relatere koncepter på tværs af lineær algebra, og hvordan den særligt i kvantemekanik er et virkelig brugbart værktøj. Ved hjælp af spektralteori kommer vi f.eks. til at vise hvordan vi kan koble bevarelse af sandsynlighederne i Schrödingers ligning til reelle værdier for energi.
Polynomier er blandt de mest studerede funktioner i matematikken, og man kan sige overraskende mange spændende ting om dem. I dette forløb skal vi undersøge, hvordan polynomier opfører sig. I første halvdel af forløbet skal vi lære basal regning med polynomier, og hvornår polynomier kan faktoriseres, dvs. brydes ned i mindre polynomier, og hvis de kan, hvordan man så gør det. I anden halvdel undersøger vi polynomier mere abstrakt. Vi skal diskutere, hvordan man kan udvide de rationale tal med rødder fra polynomier, og vi skal blive klogere på, hvad permutationer af rødderne siger om strukturen af disse udvidelser. Denne teori, kaldet Galois-teori, har nogle fascinerende konsekvenser, der kan bruges til at besvare et historisk vigtigt spørgsmål om, hvornår polynomier har eksplicitte formler for rødderne.
Denne side er sidst opdateret d. 15. februar 2025 af KVB
