UNF Matematik Camp 2017

Matematisk uge i sommerferien med fuld power på faglighed og sammenhold

Topologi

For os i dag er der intet underligt i at jorden er rund. Så det er helt naturligt for os, at man kan fortsætte ligeud på overfladen af Jorden og nå tilbage til det samme sted igen. Til gengæld er det måske knap så naturligt at forestille os, at én af de planeter vi kan se på himlen faktisk er Jorden selv. En anden ting vi tager for givet er, at der selvfølgelig er forskel på højre og venstre. Indenfor matematikken kan man konstruere rum, hvor man ved at se lang nok „frem“ faktisk kan se sig selv, og hvor det ikke giver mening at tale om højre og venstre.

Topologi og geometri er de grene af matematikken, hvor man studerer forskellige slags rum og figurer, og de spørgsmål dette leder til. I dette forløb vil vi starte med at studere figurer i 2 og 3 dimensioner og deres forskellige egenskaber, for at se hvor mærkeligt disse figurer kan opføre sig og, hvor syret alting bliver, når man erklærer at følgende slogan er sandt:

Slogan: En kaffekop er det samme som en dognut.

Nedenfor kan du se et skitse af et 2-dimensional rum, som vi vil komme til at lære mere om, nemlig Möbiusbåndet:

(Grafik: Sune Precht Reeh (SPR))

I løbet dette kursus skal vi forsøge at glemme vores egne erfaringer med at leve i noget, der ligner 3-dimensionalt euklidisk rum, og forsøge at tænke os til hvordan det f.eks. er at leve på Möbiusbåndet. Vi vil undersøge hvad man egentlig kan sige om et sådan rum, hvis man kun kan opfatte båndet selv, og ikke det omgivende 3-dimensionale rum.

Som en forsmag på denne tankegang kan du ved at følge linket her læse en fortælling om et mysterium i en anden verden. Hvis du ikke allerede nu kan give et bud på, hvad der måske sker, så vil du på Topologi og Geometri lære, hvad disse mærkelige begivenheder kan skyldes! Herunder er en forsmag på opgaver, som du vil kunne møde på dette forløb (de kan også hjælpe dig til at forstå mysteriet):

Opgave 1.a Ved hjælp af en saks, lim og et stykke papir, konstruer et Möbiusbånd.
Opgave 1.b Hvad får du, hvis du klipper et Möbiusbånd over på langs?
Opgave 1.c Hvor mange sider har et Möbiusbånd?

Opgave 2.a Du lever på et Möbiusbånd, og du har stjålet en af dine kammeraters venstre sko.
Opgave 2.b Hvordan kan du, blot ved at bruge at du lever på et Möbiusbånd, lave hans venstre sko om til en højre sko?
Opgave 2.c Giver konceptet „højre“ og „venstre“ sko overhovedet mening i denne verden?